Александров Анатолий Николаевич был не только композитором, дирижёром и пианистом, но и выдающимся музыкальным педагогом и публицистом. Удостоен звания доктора искусствоведения в 1941 году, а в 1971 стал народным артистом СССР. В 1951 году его талант был отмечен Сталинской премией второй степени, что подчеркивает его значимость в музыкальной сфере.
Родился 13 (25) мая 1888 года в Москве в семье фармацевта Николая Александровича Александрова. Мать, Анна Яковлевна Александрова-Левенсон, была пианисткой и ученицей самого П. И. Чайковского. К тому же, Александров был племянником известного музыкального критика Осипа Левенсона.
С самых ранних лет мать стала первой наставницей, открыв двери в мир фортепиано. В детстве семья часто переезжала, что добавило нотку романтики в жизнь Анатолия Николаевича. В 1906 году он с блеском окончил Томскую мужскую гимназию, получив золотую медаль.
Вернувшись в Москву в 1906 году, он знакомится с С. И. Танеевым. Это положило начало его обучения у ученика Танеева, Н. С. Жиляева, а затем и у самого мастера с 1907 по 1910 годы. В 1906—1909 годах он также изучал историю и философию в Московском университете, что, безусловно, обогатило его музыкальное восприятие.
В 1910 году он поступил в Московскую консерваторию, где изучал фортепиано под руководством К. Н. Игумнова и композицию под наставничеством С. Н. Василенко. В 1916 году, с малой золотой медалью, он завершил обучение.
Принимал участие в Первой мировой войне. В годы гражданской войны стал военным музыкантом в РККА, что обогатило его опыт и вдохновение для будущих произведений. Затем вплоть до 1974 года выступал на концертах как пианист с исполнением своих произведений.
В 1918—1919 годах работал в Наркомпросе РСФСР, в 1919—1920 годах — дирижёр Камерного театра, в 1922—1923 годах — дирижёр и редактор Радиовещания в Москве. С 1923 по 1965 годы он преподавал в Московской консерватории, став профессором с 1926 года. Его учениками были такие светила, как Н. Х. Халмамедов, Н. П. Аносов, В. В. Бунин, М. В. Иорданский, Р. С. Леденёв, М. А. Меерович, К. В. Молчанов, М. А. Музафаров, Г. А. Мушель, И. Г. Неймарк, Ю. М. Слонов, Е. Н. Тиличеева, Ю. А. Фортунатов, Н. К. Чемберджи, что подтверждает его влияние на новое поколение музыкантов.
Александров завершил ряд незаконченных произведений С. И. Танеева и А. К. Глазунова, а также принимал участие в редактировании Полного собрания сочинений П. И. Чайковского. Он также стал автором статей и воспоминаний о таких гигантах, как С. И. Танеев и С. В. Рахманинов.
Член Союза композиторов СССР, он долгое время возглавлял секцию детской музыки. Жил в Москве, сначала на Воздвиженке, а затем на 3-й Миусской улице, ныне известной как улица Чаянова.
Умер он 16 апреля 1982 года, оставив после себя богатое наследие, похоронен на Введенском кладбище.
В Москве, на доме по 3-й Миусской улице (ныне улица Чаянова), 10, где жил композитор, установлена мемориальная доска.